Các nhà toán học đã phát hiện ra một bằng chứng mới lớn cho một trong những ý tưởng chưa được chứng minh nổi tiếng nhất trong toán học, được gọi là phỏng đoán nguyên tố sinh đôi. Nhưng con đường họ đi để tìm ra bằng chứng đó có lẽ sẽ không giúp chứng minh được phỏng đoán chính.
Giả thuyết nguyên tố sinh đôi là tất cả về cách thức và thời điểm các số nguyên tố - các số chỉ chia hết cho nhau và 1 - xuất hiện trên dòng số. "Số nguyên tố sinh đôi" là các số nguyên tố cách nhau hai bước trên dòng đó: 3 và 5, 5 và 7, 29 và 31, 137 và 139, v.v. Giả thuyết sinh đôi nói rằng có vô số số nguyên tố sinh đôi và bạn sẽ tiếp tục gặp chúng cho dù bạn có đi xa đến đâu. Nó cũng nói rằng có vô số cặp số nguyên tố với mọi khoảng cách có thể khác giữa chúng (các cặp số nguyên tố cách nhau bốn bước, cách nhau tám bước, cách nhau 200.000 bước, v.v.). Các nhà toán học khá chắc chắn điều này là đúng. Có vẻ như đó là sự thật. Và nếu điều đó không đúng, điều đó có nghĩa là các số nguyên tố không ngẫu nhiên như mọi người nghĩ, điều này sẽ làm rối tung rất nhiều ý tưởng về cách thức hoạt động của các con số nói chung. Nhưng không ai từng có thể chứng minh điều đó.
Họ có thể gần gũi hơn bao giờ hết, mặc dù. Trong một bài báo xuất bản ngày 12 tháng 8 trên tạp chí arXiv, như Quanta đã báo cáo lần đầu tiên, hai nhà toán học đã chứng minh rằng phỏng đoán nguyên tố sinh đôi là đúng - ít nhất là trong một loại vũ trụ thay thế.
Đây là những gì các nhà toán học làm: làm việc hướng tới những bằng chứng lớn bằng cách chứng minh những ý tưởng nhỏ hơn trên đường đi. Đôi khi, những bài học rút ra từ những bằng chứng nhỏ hơn có thể giúp với bằng chứng lớn hơn.
Trong trường hợp này, các nhà toán học Will Sawin của Đại học Columbia và Mark Shusterman của Đại học Wisconsin đã chứng minh một phiên bản của phỏng đoán nguyên tố sinh đôi cho vũ trụ thay thế của "các trường hữu hạn": các hệ số không đi đến vô tận như dòng số, nhưng thay vào đó lặp lại chính mình.
Bạn có thể bắt gặp một lĩnh vực hữu hạn mỗi ngày trên mặt đồng hồ. Nó đi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, và sau đó lặp lại thành 1. Trong trường hữu hạn đó, 3 + 3 vẫn bằng 6. Nhưng 3 + 11 = 2.
Các trường hữu hạn có đa thức hoặc các biểu thức như "4x" hoặc "3x + 17x ^ 2-4", Sawin nói với Live Science, giống như các số thông thường. Các nhà toán học, ông nói, đã học được rằng các đa thức trên các trường hữu hạn hoạt động rất giống các số nguyên - toàn bộ các số trên dòng số. Các tuyên bố đúng về số nguyên có xu hướng cũng tin tưởng về đa thức trên các trường hữu hạn và ngược lại. Và cũng giống như số nguyên tố đi theo cặp, đa thức đến theo cặp. Ví dụ: cặp song sinh 3x + 17x ^ 2-4 là 3x + 17x ^ 2-2 và 3x + 17x ^ 2-6. Và điều tuyệt vời về đa thức, Sawin nói, là không giống như các số nguyên, khi bạn vẽ chúng trên biểu đồ, chúng tạo ra các hình dạng hình học. Ví dụ: 2x + 1 tạo một biểu đồ trông như thế này:
Và 5x + x ^ 2 tạo ra một biểu đồ trông như thế này:
Vì đa thức vạch ra các hình dạng, thay vì các chấm bạn nhận được khi vẽ biểu đồ các số nguyên tố riêng lẻ, bạn có thể sử dụng hình học để chứng minh mọi thứ về đa thức mà bạn không thể chứng minh về các số nguyên đơn giản.
"Chúng tôi không phải là người đầu tiên nhận thấy rằng bạn có thể sử dụng hình học để hiểu các trường hữu hạn", Shusterman nói với Live Science.
Các nhà nghiên cứu khác đã chứng minh các phiên bản nhỏ hơn của giả thuyết số nguyên tố sinh đôi về một số loại đa thức nhất định trên các trường hữu hạn. Nhưng bằng chứng của Sawin và Shusterman yêu cầu các nhà nghiên cứu quay trở lại và bắt đầu lại từ đầu ở nhiều khía cạnh, Sawin nói.
"Chúng tôi đã có một quan sát cho phép chúng tôi thực hiện một trò lừa lừa làm cho hình học đẹp hơn nhiều để nó được áp dụng trong tất cả các trường hợp này", Shusterman nói.
Thủ thuật hình học đó, ông nói đã dẫn đến bước đột phá của họ: chứng minh rằng phiên bản đặc biệt này của phỏng đoán nguyên tố sinh đôi là đúng với tất cả các đa thức trên các trường hữu hạn, không chỉ một số trong số chúng.
Tin xấu, Sawin nói, là bởi vì mánh khóe của họ phụ thuộc rất nhiều vào hình học, nên có lẽ sẽ không thể sử dụng nó để chứng minh phỏng đoán nguyên tố sinh đôi. Toán học cơ bản là quá khác nhau.
Tuy nhiên, Shusterman nói, chứng minh trường hợp hữu hạn là một bằng chứng mới lớn để thêm vào đống, trêu chọc các nhà toán học với khả năng bằng chứng mà mọi người đang chờ đợi ở đâu đó.
Như thể họ muốn nhìn thấy đỉnh của một ngọn núi dốc cao, và thay vào đó họ di chuyển lên một ngọn núi khác gần đó. Họ gần như có thể nhìn thấy đỉnh núi xa xôi, nhưng nó bị che khuất trong những đám mây. Và con đường họ đi để lên đến đỉnh núi thứ hai có lẽ sẽ không hoạt động trên ngọn núi mà họ thực sự quan tâm.
Shusterman nói rằng ông hy vọng sẽ tiếp tục làm việc với Sawin về vấn đề số nguyên tố sinh đôi, và rằng luôn luôn có thể một cái gì đó họ học được khi đưa ra bằng chứng này sẽ trở nên quan trọng để chứng minh phỏng đoán nguyên tố song sinh.
