Có phải một nhóm các nhà toán học chỉ cần một bước tiến lớn để trả lời một câu hỏi 160 triệu đô la trong toán học?
Có lẽ. Phi hành đoàn đã giải quyết một số câu hỏi khác, nhỏ hơn trong một lĩnh vực gọi là lý thuyết số. Và khi làm như vậy, họ đã mở lại một đại lộ cũ mà cuối cùng có thể dẫn đến một câu trả lời cho câu hỏi cũ: giả thuyết Riemann có đúng không?
Giả thuyết Reimann là một phỏng đoán toán học cơ bản có ý nghĩa rất lớn đối với phần còn lại của toán học. Nó tạo thành nền tảng cho nhiều ý tưởng toán học khác - nhưng không ai biết liệu nó có đúng không. Giá trị của nó đã trở thành một trong những câu hỏi mở nổi tiếng nhất trong toán học. Đó là một trong bảy "Vấn đề thiên niên kỷ" được đặt ra vào năm 2000, với lời hứa rằng bất cứ ai giải quyết chúng sẽ giành được 1 triệu đô la. (Chỉ một trong những vấn đề đã được giải quyết.)
Ý tưởng này đến từ đâu?
Trở lại năm 1859, một nhà toán học người Đức tên Bernhard Riemann đã đề xuất một câu trả lời cho một phương trình toán học đặc biệt gai góc. Giả thuyết của ông diễn ra như sau: Phần thực của mọi số 0 không tầm thường của hàm Riemann zeta là 1/2. Đó là một câu lệnh toán học khá trừu tượng, phải làm với những con số bạn có thể đặt vào một hàm toán học cụ thể để làm cho hàm đó bằng không. Nhưng hóa ra vấn đề rất lớn, quan trọng nhất là liên quan đến các câu hỏi về tần suất bạn sẽ gặp các số nguyên tố khi bạn đếm đến vô cùng.
Chúng ta sẽ quay lại chi tiết của giả thuyết sau. Nhưng điều quan trọng cần biết bây giờ là nếu giả thuyết Riemann là đúng, nó trả lời rất nhiều câu hỏi trong toán học.
"Thông thường trong lý thuyết số, điều cuối cùng xảy ra là nếu bạn giả sử giả thuyết Riemann, thì bạn có thể chứng minh tất cả các loại kết quả khác", Lola Thompson, một nhà lý thuyết số tại Đại học Oberlin ở Ohio, người không tham gia trong nghiên cứu mới nhất này, cho biết.
Thông thường, cô nói với Live Science, các nhà lý thuyết số trước tiên sẽ chứng minh rằng điều gì đó là đúng nếu giả thuyết Riemann là đúng. Sau đó, họ sẽ sử dụng bằng chứng đó như một bước đệm hướng tới một bằng chứng phức tạp hơn, điều này cho thấy kết luận ban đầu của họ là đúng dù giả thuyết Riemann có đúng hay không.
Thực tế là thủ thuật này hoạt động, cô nói, đã thuyết phục nhiều nhà toán học rằng giả thuyết Riemann phải đúng.
Nhưng sự thật là không ai biết chắc chắn.
Một bước nhỏ hướng tới một bằng chứng?
Vậy làm thế nào mà nhóm các nhà toán học nhỏ này dường như đưa chúng ta đến gần hơn với một giải pháp?
"Những gì chúng tôi đã làm trong bài báo của mình", Ken Ono, một nhà lý thuyết số tại Đại học Emory và đồng tác giả của bằng chứng mới, "chúng tôi đã xem xét lại một tiêu chí rất kỹ thuật tương đương với giả thuyết Riemann và chúng tôi đã chứng minh một số lượng lớn một phần của nó. Chúng tôi đã chứng minh một phần lớn của tiêu chí này. "
Một "tiêu chí tương đương với giả thuyết Riemann", trong trường hợp này, đề cập đến một tuyên bố riêng tương đương về mặt toán học với giả thuyết Riemann.
Thoạt nhìn không rõ ràng tại sao hai câu nói được kết nối như vậy. (Tiêu chí phải liên quan đến một thứ gọi là "tính đa hình của đa thức Jensen.") Nhưng vào những năm 1920, một nhà toán học người Hungary tên là George Pólya đã chứng minh rằng nếu tiêu chí này là đúng, thì giả thuyết Riemann là đúng - và ngược lại. Đó là một tuyến đường được đề xuất cũ để chứng minh giả thuyết, nhưng một tuyến đường đã bị bỏ rơi.
Ono và các đồng nghiệp của mình, trong một bài báo xuất bản ngày 21 tháng 5 trên tạp chí Proceedings of the Natural Academy of Science (PNAS), đã chứng minh rằng trong nhiều, rất nhiều trường hợp, tiêu chí này là đúng.
Nhưng trong toán học, nhiều người không đủ để coi là một bằng chứng. Vẫn còn một số trường hợp họ không biết liệu tiêu chí này là đúng hay sai.
"Nó giống như chơi một Powerball hàng triệu số," Ono nói. "Và bạn biết tất cả các số trừ 20. số cuối cùng. Nếu thậm chí một trong số 20 số cuối đó sai, bạn sẽ thua. Voi Nó vẫn có thể sụp đổ."
Các nhà nghiên cứu sẽ cần đưa ra một bằng chứng thậm chí còn tiên tiến hơn để cho thấy tiêu chí này là đúng trong mọi trường hợp, từ đó chứng minh giả thuyết Riemann. Và không rõ bằng chứng như vậy là bao xa, Ono nói.
Vì vậy, một thỏa thuận lớn như thế nào là giấy này?
Xét về giả thuyết Riemann, thật khó để nói rằng vấn đề này lớn đến mức nào. Rất nhiều phụ thuộc vào những gì xảy ra tiếp theo.
"Đây chỉ là một trong nhiều công thức tương đương của giả thuyết Riemann," Thompson nói.
Nói cách khác, có rất nhiều ý tưởng khác, giống như tiêu chí này, sẽ chứng minh rằng giả thuyết Riemann là đúng nếu bản thân chúng đã được chứng minh.
"Vì vậy, thật khó để biết mức độ tiến bộ này là bao nhiêu, bởi vì một mặt nó đã đạt được tiến bộ theo hướng này. Nhưng, có rất nhiều công thức tương đương mà có lẽ hướng này sẽ không mang lại giả thuyết Riemann. Có lẽ một trong những Thay vào đó, các định lý tương đương khác sẽ thay đổi, nếu ai đó có thể chứng minh một trong những định lý đó, "Thompson nói.
Nếu bằng chứng xuất hiện dọc theo bản nhạc này, thì điều đó có thể có nghĩa là Ono và các đồng nghiệp của anh ta đã phát triển một khuôn khổ cơ bản quan trọng để giải quyết giả thuyết Riemann. Nhưng nếu nó xuất hiện ở một nơi khác, thì bài báo này sẽ trở nên ít quan trọng hơn.
Tuy nhiên, các nhà toán học rất ấn tượng.
"Mặc dù điều này vẫn còn xa so với việc chứng minh giả thuyết Riemann, nhưng đó là một bước tiến lớn," Encrico Bombieri, một nhà lý thuyết số Princeton, người không tham gia vào nghiên cứu của nhóm, đã viết trong một bài báo ngày 23 tháng 5 của PNAS. "Không có nghi ngờ rằng bài báo này sẽ truyền cảm hứng cho công việc cơ bản hơn nữa trong các lĩnh vực khác của lý thuyết số cũng như trong vật lý toán học."
(Bombieri đã giành được Huy chương Trường - giải thưởng uy tín nhất về toán học - vào năm 1974, phần lớn cho các công việc liên quan đến giả thuyết Riemann.)
Giả thuyết Riemann có ý nghĩa gì?
Tôi đã hứa chúng tôi sẽ quay lại vấn đề này. Đây là giả thuyết Riemann một lần nữa: Phần thực của mọi số 0 không tầm thường của hàm zeta Riemann là 1/2.
Chúng ta hãy phá vỡ điều đó theo cách mà Thompson và Ono giải thích nó.
Đầu tiên, chức năng Riemann zeta là gì?
Trong toán học, một hàm là mối quan hệ giữa các đại lượng toán học khác nhau. Một cái đơn giản có thể trông như thế này: y = 2x.
Hàm zeta Riemann tuân theo các nguyên tắc cơ bản tương tự. Chỉ là nó phức tạp hơn nhiều. Đây là những gì nó trông giống như.
Đó là tổng của một chuỗi vô hạn, trong đó mỗi thuật ngữ - một vài số đầu tiên là 1/1 ^ s, 1/2 ^ s và 1/3 ^ s - được thêm vào các điều khoản trước đó. Những hình elip đó có nghĩa là chuỗi trong hàm cứ tiếp tục như vậy, mãi mãi.
Bây giờ chúng ta có thể trả lời câu hỏi thứ hai: Hàm 0 của Riemann zeta là gì?
Điều này dễ dàng hơn. "Không" của hàm là bất kỳ số nào bạn có thể đặt cho x làm cho hàm bằng 0.
Câu hỏi tiếp theo: "phần thực" của một trong những số 0 đó là gì và điều đó có nghĩa là nó bằng 1/2?
Hàm zeta Riemann liên quan đến cái mà các nhà toán học gọi là "số phức". Một số phức trông như thế này: a + b * i.
Trong phương trình đó, "a" và "b" là viết tắt của bất kỳ số thực nào. Một số thực có thể là bất cứ thứ gì từ âm 3, đến 0, đến 4,9234, pi, hoặc 1 tỷ. Nhưng có một loại số khác: số ảo. Các số ảo xuất hiện khi bạn lấy căn bậc hai của một số âm và chúng quan trọng, hiển thị trong tất cả các loại bối cảnh toán học.
Số tưởng tượng đơn giản nhất là căn bậc hai của -1, được viết là "i." Số phức là số thực ("a") cộng với số thực khác ("b") lần i. "Phần thực" của một số phức là "a."
Một vài số không của hàm zeta Riemann, các số nguyên âm trong khoảng từ -10 đến 0, không được tính cho giả thuyết Reimann. Đây được coi là các số không "tầm thường" vì chúng là số thực chứ không phải số phức. Tất cả các số không khác là "số không tầm thường" và số phức.
Giả thuyết Riemann nói rằng khi hàm zeta Riemann vượt qua 0 (ngoại trừ các số 0 nằm trong khoảng từ -10 đến 0), phần thực của số phức phải bằng 1/2.
Đó là yêu sách nhỏ có vẻ không quan trọng lắm. Nhưng nó là. Và chúng ta có thể chỉ là một thiếu niên gần hơn để giải quyết nó.
